Vyriešiť (3x-5)(x+2)leqx^2

$$( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) \leq x ^ { 2 }$$

Riešenie pre x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 3x-5 a x+2 a zlúčenie podobných členov.

$$3x^{2}+x-10\leq x^{2}$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$3x^{2}+x-10-x^{2}\leq 0$$

Skombinovaním 3x^{2} a -x^{2} získate 2x^{2}.

$$2x^{2}+x-10\leq 0$$

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 2 výrazom a, 1 výrazom b a -10 výrazom c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{-1±9}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-1±9}{4}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)\leq 0$$

Ak má byť výsledok súčinu ≤0, jedna z hodnôt výrazov x-2 a x+\frac{5}{2} musí byť ≥0 a druhá musí byť ≤0. Zvážme prípad, keď x-2\geq 0 a x+\frac{5}{2}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{5}{2}\leq 0$$

Toto má hodnotu False pre každú premennú x.

$$x\in \emptyset$$

Zvážme prípad, keď x-2\leq 0 a x+\frac{5}{2}\geq 0.

$$x+\frac{5}{2}\geq 0 x-2\leq 0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x\in \left[-\frac{5}{2},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$