Vyriešiť (3x-4)^2-(x+3)^2=0

$$( 3 x - 4 ) ^ { 2 } - ( x + 3 ) ^ { 2 } = 0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Na rozloženie výrazu \left(3x-4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Na rozloženie výrazu \left(x+3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x^{2}+6x+9, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Skombinovaním 9x^{2} a -x^{2} získate 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Skombinovaním -24x a -6x získate -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Odčítajte 9 z 16 a dostanete 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 8x^{2}+ax+bx+7. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-30 ab=8\times 7=56$$

Keďže ab je kladná, a a b majú rovnaké znamienko. Keďže a+b je záporná, a a b sú negatívne. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -30.

$$a=-28 b=-2$$

Zapíšte 8x^{2}-30x+7 ako výraz \left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right)$$

Vyčleňte 4x v prvej a -1 v druhej skupine.

$$4x\left(2x-7\right)-\left(2x-7\right)$$

Vyberte spoločný člen 2x-7 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2x-7\right)\left(4x-1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 2x-7=0 a 4x-1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(3x-4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Na rozloženie výrazu \left(x+3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x^{2}+6x+9, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Skombinovaním 9x^{2} a -x^{2} získate 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Skombinovaním -24x a -6x získate -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Odčítajte 9 z 16 a dostanete 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 8 za a, -30 za b a 7 za c.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Umocnite číslo -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 8.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\times 7}}{2\times 8}$$

Vynásobte číslo -32 číslom 7.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 8}$$

Prirátajte 900 ku -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 8}$$

Opak čísla -30 je 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 8}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 8.

$$x=\frac{30±26}{16}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{30±26}{16}, keď ± je plus. Prirátajte 30 ku 26.

$$x=\frac{56}{16}$$

Vykráťte zlomok \frac{56}{16} na základný tvar extrakciou a elimináciou 8.

$$x=\frac{7}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{30±26}{16}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 26 od čísla 30.

$$x=\frac{4}{16}$$

Vykráťte zlomok \frac{4}{16} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{1}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(3x-4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Na rozloženie výrazu \left(x+3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x^{2}+6x+9, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Skombinovaním 9x^{2} a -x^{2} získate 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Skombinovaním -24x a -6x získate -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Odčítajte 9 z 16 a dostanete 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Odčítajte 7 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$8x^{2}-30x=-7$$

Vydeľte obe strany hodnotou 8.

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=-\frac{7}{8}$$

Delenie číslom 8 ruší násobenie číslom 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=-\frac{7}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{-30}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=-\frac{7}{8}$$

Číslo -\frac{15}{4}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{15}{8}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{15}{8}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{15}{8} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=-\frac{7}{8}+\frac{225}{64}$$

Prirátajte -\frac{7}{8} ku \frac{225}{64} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{169}{64}$$

Rozložte výraz x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{13}{8}$$

Prirátajte \frac{15}{8} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$