Vyriešiť (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Riešenie pre r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2,22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20,22497216$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(3+r\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(15+r\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Sčítaním 9 a 225 získate 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Skombinovaním 6r a 30r získate 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Skombinovaním r^{2} a r^{2} získate 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 18 a dostanete 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Odčítajte 324 z oboch strán.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

Odčítajte 324 z 234 a dostanete -90.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, 36 za b a -90 za c.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo 36.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Prirátajte 1296 ku 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 2016.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Vyriešte rovnicu r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}, keď ± je plus. Prirátajte -36 ku 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Vydeľte číslo -36+12\sqrt{14} číslom 4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Vyriešte rovnicu r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 12\sqrt{14} od čísla -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Vydeľte číslo -36-12\sqrt{14} číslom 4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(3+r\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(15+r\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Sčítaním 9 a 225 získate 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Skombinovaním 6r a 30r získate 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Skombinovaním r^{2} a r^{2} získate 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 18 a dostanete 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Odčítajte 234 z oboch strán.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

Odčítajte 234 z 324 a dostanete 90.

$$36r+2r^{2}=90$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+36r=90$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Vydeľte číslo 36 číslom 2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Vydeľte číslo 90 číslom 2.

$$r^{2}+18r=45$$

Číslo 18, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok 9. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu 9. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

Umocnite číslo 9.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Prirátajte 45 ku 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Rozložte výraz r^{2}+18r+81 na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Zjednodušte.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

Odčítajte hodnotu 9 od oboch strán rovnice.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$