Vyriešiť (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Riešenie pre x

$$x=8$$

$$x=15$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Na rozloženie výrazu \left(23-x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Skombinovaním x^{2} a x^{2} získate 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 17 a dostanete 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Odčítajte 289 z oboch strán.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Odčítajte 289 z 529 a dostanete 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx+120. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -23 súčtu.

$$a=-15 b=-8$$

Zapíšte x^{2}-23x+120 ako výraz \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

x na prvej skupine a -8 v druhá skupina.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Vyberte spoločný člen x-15 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-15=0 a x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(23-x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Skombinovaním x^{2} a x^{2} získate 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 17 a dostanete 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Odčítajte 289 z oboch strán.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Odčítajte 289 z 529 a dostanete 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, -46 za b a 240 za c.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Prirátajte 2116 ku -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Opak čísla -46 je 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{46±14}{4}, keď ± je plus. Prirátajte 46 ku 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Vydeľte číslo 60 číslom 4.

$$x=15$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{46±14}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 14 od čísla 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Vydeľte číslo 32 číslom 4.

$$x=8$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=15 x=8$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(23-x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Skombinovaním x^{2} a x^{2} získate 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 17 a dostanete 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Odčítajte 529 z oboch strán.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Odčítajte 529 z 289 a dostanete -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Vydeľte číslo -46 číslom 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Vydeľte číslo -240 číslom 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Číslo -23, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{23}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{23}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{23}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Prirátajte -120 ku \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Rozložte x^{2}-23x+\frac{529}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Prirátajte \frac{23}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=15 x=8$$