Vyriešiť (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Na rozloženie výrazu \left(2x-3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Na rozloženie výrazu \left(x+5\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x^{2}+10x+25, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Skombinovaním 4x^{2} a -x^{2} získate 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Skombinovaním -12x a -10x získate -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Odčítajte 25 z 9 a dostanete -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Pridať položku 23 na obidve snímky.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Sčítaním -16 a 23 získate 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3x^{2}+ax+bx+7. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -22 súčtu.

$$a=-21 b=-1$$

Zapíšte 3x^{2}-22x+7 ako výraz \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

3x na prvej skupine a -1 v druhá skupina.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Vyberte spoločný člen x-7 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-7=0 a 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(2x-3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Na rozloženie výrazu \left(x+5\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x^{2}+10x+25, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Skombinovaním 4x^{2} a -x^{2} získate 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Skombinovaním -12x a -10x získate -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Odčítajte 25 z 9 a dostanete -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Pridať položku 23 na obidve snímky.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Sčítaním -16 a 23 získate 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -22 za b a 7 za c.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Prirátajte 484 ku -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Opak čísla -22 je 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{22±20}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 22 ku 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Vydeľte číslo 42 číslom 6.

$$x=7$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{22±20}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 20 od čísla 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{2}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(2x-3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Na rozloženie výrazu \left(x+5\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x^{2}+10x+25, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Skombinovaním 4x^{2} a -x^{2} získate 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Skombinovaním -12x a -10x získate -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Odčítajte 25 z 9 a dostanete -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Pridať položku 16 na obidve snímky.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Sčítaním -23 a 16 získate -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Číslo -\frac{22}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{11}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{11}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{11}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Prirátajte -\frac{7}{3} ku \frac{121}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Prirátajte \frac{11}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$