Vyriešiť (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(2x+4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Na rozloženie výrazu \left(3x-2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 9x^{2}-12x+4, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Skombinovaním -9x^{2} a -40x^{2} získate -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Pridať položku 205 na obidve snímky.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Sčítaním -4 a 205 získate 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -5x a 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov -35x+15x^{2} a 7+3x a zlúčenie podobných členov.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Skombinovaním 16x a -245x získate -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Skombinovaním 4x^{2} a -49x^{2} získate -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Skombinovaním -229x a 12x získate -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Sčítaním 16 a 201 získate 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Zmeňte usporiadanie rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 217 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 45. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=1$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 číslom x-1 a dostanete 45x^{2}-217. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 45 výrazom a, 0 výrazom b a -217 výrazom c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Vyriešte rovnicu 45x^{2}-217=0, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Uveďte všetky nájdené riešenia.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$