Vyriešiť (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Riešenie pre x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2x+3 a x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov x-4 a x+40 a zlúčenie podobných členov.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Skombinovaním 3x^{2} a x^{2} získate 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Skombinovaním -32x a 36x získate 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Odčítajte 160 z -48 a dostanete -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2 a x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2x-8 a x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Odčítajte 2x^{3} z oboch strán.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Skombinovaním 2x^{3} a -2x^{3} získate 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Pridať položku 32x na obidve snímky.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Skombinovaním 4x a 32x získate 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Pridať položku 8x^{2} na obidve snímky.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Skombinovaním 4x^{2} a 8x^{2} získate 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Odčítajte 128 z oboch strán.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Odčítajte 128 z -208 a dostanete -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-28. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 3 súčtu.

$$a=-4 b=7$$

Zapíšte x^{2}+3x-28 ako výraz \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

x na prvej skupine a 7 v druhá skupina.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Vyberte spoločný člen x-4 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-4=0 a x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2x+3 a x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov x-4 a x+40 a zlúčenie podobných členov.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Skombinovaním 3x^{2} a x^{2} získate 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Skombinovaním -32x a 36x získate 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Odčítajte 160 z -48 a dostanete -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2 a x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2x-8 a x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Odčítajte 2x^{3} z oboch strán.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Skombinovaním 2x^{3} a -2x^{3} získate 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Pridať položku 32x na obidve snímky.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Skombinovaním 4x a 32x získate 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Pridať položku 8x^{2} na obidve snímky.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Skombinovaním 4x^{2} a 8x^{2} získate 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Odčítajte 128 z oboch strán.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Odčítajte 128 z -208 a dostanete -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 12 za a, 36 za b a -336 za c.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Umocnite číslo 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo -48 číslom -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Prirátajte 1296 ku 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-36±132}{24}, keď ± je plus. Prirátajte -36 ku 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Vydeľte číslo 96 číslom 24.

$$x=4$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-36±132}{24}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 132 od čísla -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Vydeľte číslo -168 číslom 24.

$$x=-7$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=4 x=-7$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2x+3 a x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov x-4 a x+40 a zlúčenie podobných členov.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Skombinovaním 3x^{2} a x^{2} získate 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Skombinovaním -32x a 36x získate 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Odčítajte 160 z -48 a dostanete -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2 a x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2x-8 a x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Odčítajte 2x^{3} z oboch strán.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Skombinovaním 2x^{3} a -2x^{3} získate 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Pridať položku 32x na obidve snímky.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Skombinovaním 4x a 32x získate 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Pridať položku 8x^{2} na obidve snímky.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Skombinovaním 4x^{2} a 8x^{2} získate 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Pridať položku 208 na obidve snímky.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Sčítaním 128 a 208 získate 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Vydeľte obe strany hodnotou 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Delenie číslom 12 ruší násobenie číslom 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Vydeľte číslo 36 číslom 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Vydeľte číslo 336 číslom 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Číslo 3, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{3}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{3}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{3}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Prirátajte 28 ku \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Rozložte x^{2}+3x+\frac{9}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Odčítajte hodnotu \frac{3}{2} od oboch strán rovnice.

$$x=4 x=-7$$