Vyriešiť (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

Riešenie pre k

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(2k-3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -4 a 3-2k.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

Odčítajte 12 z 9 a dostanete -3.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

Skombinovaním -12k a 8k získate -4k.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 4 výrazom a, -4 výrazom b a -3 výrazom c.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Urobte výpočty.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Vyriešte rovnicu k=\frac{4±8}{8}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

Ak má byť výsledok súčinu záporný, výrazy k-\frac{3}{2} a k+\frac{1}{2} musia mať opačné znamienka. Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz k-\frac{3}{2} kladný a výraz k+\frac{1}{2} záporný.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

Toto má hodnotu False pre každú premennú k.

$$k\in \emptyset$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz k+\frac{1}{2} kladný a výraz k-\frac{3}{2} záporný.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$