Vyriešiť (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33,333333333$$

$$x=-100$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 100 a dostanete 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x+100\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Sčítaním 10000 a 10000 získate 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(2x+100\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Odčítajte 4x^{2} z oboch strán.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Skombinovaním x^{2} a -4x^{2} získate -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Odčítajte 400x z oboch strán.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Skombinovaním 200x a -400x získate -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Odčítajte 10000 z oboch strán.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Odčítajte 10000 z 20000 a dostanete 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -3x^{2}+ax+bx+10000. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -30000.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -200 súčtu.

$$a=100 b=-300$$

Zapíšte -3x^{2}-200x+10000 ako výraz \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right).

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

-x na prvej skupine a -100 v druhá skupina.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x-100 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3x-100=0 a -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 100 a dostanete 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x+100\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Sčítaním 10000 a 10000 získate 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(2x+100\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Odčítajte 4x^{2} z oboch strán.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Skombinovaním x^{2} a -4x^{2} získate -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Odčítajte 400x z oboch strán.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Skombinovaním 200x a -400x získate -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Odčítajte 10000 z oboch strán.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Odčítajte 10000 z 20000 a dostanete 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -3 za a, -200 za b a 10000 za c.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Umocnite číslo -200.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 12 číslom 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

Prirátajte 40000 ku 120000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 160000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

Opak čísla -200 je 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{200±400}{-6}, keď ± je plus. Prirátajte 200 ku 400.

$$x=\frac{600}{-6}$$

Vydeľte číslo 600 číslom -6.

$$x=-100$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{200±400}{-6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 400 od čísla 200.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-200}{-6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=\frac{100}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 100 a dostanete 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x+100\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Sčítaním 10000 a 10000 získate 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(2x+100\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Odčítajte 4x^{2} z oboch strán.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Skombinovaním x^{2} a -4x^{2} získate -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Odčítajte 400x z oboch strán.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Skombinovaním 200x a -400x získate -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Odčítajte 20000 z oboch strán.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

Odčítajte 20000 z 10000 a dostanete -10000.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

Delenie číslom -3 ruší násobenie číslom -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

Vydeľte číslo -200 číslom -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

Vydeľte číslo -10000 číslom -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

Číslo \frac{200}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{100}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{100}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{100}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Prirátajte \frac{10000}{3} ku \frac{10000}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Rozložte x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

Odčítajte hodnotu \frac{100}{3} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$