Vyriešiť (sqrt{2}+sqrt{5})^2-(2+sqrt{10})^2+sqrt{90}+(2sqrt{2}-1)(2sqrt{2}+1)

$$( \sqrt { 2 } + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - ( 2 + \sqrt { 10 } ) ^ { 2 } + \sqrt { 90 } + ( 2 \sqrt { 2 } - 1 ) ( 2 \sqrt { 2 } + 1 )$$

Vyhodnotiť

$$\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Druhá mocnina \sqrt{2} je 2.

$$2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Ak chcete \sqrt{2} vynásobte a \sqrt{5}, vynásobte čísla v štvorcových koreňovom priečinku.

$$2+2\sqrt{10}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Druhá mocnina \sqrt{5} je 5.

$$2+2\sqrt{10}+5-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Sčítaním 2 a 5 získate 7.

$$7+2\sqrt{10}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Na rozloženie výrazu \left(2+\sqrt{10}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Druhá mocnina \sqrt{10} je 10.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+10\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Sčítaním 4 a 10 získate 14.

$$7+2\sqrt{10}-\left(14+4\sqrt{10}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 14+4\sqrt{10}, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$7+2\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Odčítajte 14 z 7 a dostanete -7.

$$-7+2\sqrt{10}-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Skombinovaním 2\sqrt{10} a -4\sqrt{10} získate -2\sqrt{10}.

$$-7-2\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Rozložte 90=3^{2}\times 10 na faktory. Prepíšte druhú odmocninu produktu \sqrt{3^{2}\times 10} ako súčin štvorca korene \sqrt{3^{2}}\sqrt{10}. Vypočítajte druhú odmocninu čísla 3^{2}.

$$-7-2\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Skombinovaním -2\sqrt{10} a 3\sqrt{10} získate \sqrt{10}.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Zvážte \left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocnite číslo 1.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Rozšírte exponent \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$-7+\sqrt{10}+2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 2 a dostanete 4.

$$-7+\sqrt{10}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Druhá mocnina \sqrt{2} je 2.

$$-7+\sqrt{10}+4\times 2-1$$

Vynásobením 4 a 2 získate 8.

$$-7+\sqrt{10}+8-1$$

Odčítajte 1 z 8 a dostanete 7.

$$-7+\sqrt{10}+7$$

Sčítaním -7 a 7 získate 0.

$$\sqrt{10}$$