Vyriešiť y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Riešenie pre y

$$y=6$$

$$y=9$$

Postup pri rozkladaní na faktory

Pridať položku 54 na obidve snímky.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Ak chcete vyriešiť rovnicu, faktor y^{2}-15y+54 pomocou vzorca y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-15 ab=54$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -15 súčtu.

$$a=-9 b=-6$$

Prepíšte výraz \left(y+a\right)\left(y+b\right) rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte y-9=0 a y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Pridať položku 54 na obidve snímky.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare y^{2}+ay+by+54. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -15 súčtu.

$$a=-9 b=-6$$

Zapíšte y^{2}-15y+54 ako výraz \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

y na prvej skupine a -6 v druhá skupina.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Vyberte spoločný člen y-9 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte y-9=0 a y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$y^{2}-15y=-54$$

Prirátajte 54 ku obom stranám rovnice.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -54 od seba samého bude 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Odčítajte číslo -54 od čísla 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -15 za b a 54 za c.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Umocnite číslo -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Prirátajte 225 ku -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

Opak čísla -15 je 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{15±3}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 15 ku 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Vydeľte číslo 18 číslom 2.

$$y=9$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{15±3}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 3 od čísla 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Vydeľte číslo 12 číslom 2.

$$y=6$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$y=9 y=6$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Číslo -15, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{15}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{15}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{15}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Prirátajte -54 ku \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Rozložte y^{2}-15y+\frac{225}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Zjednodušte.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Prirátajte \frac{15}{2} ku obom stranám rovnice.

$$y=9 y=6$$