Vyriešiť x^4-4x^2+3

$${ x }^{ 4 } -4 { x }^{ 2 } +3$$

Rozložiť na faktory

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Postup riešenia

Ak chcete výraz faktor, vyriešte rovnicu, v ktorej sa rovná 0.

$$x^{4}-4x^{2}+3=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 3 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 1. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=1$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo x^{4}-4x^{2}+3 číslom x-1 a dostanete x^{3}+x^{2}-3x-3. Ak chcete vyjadriť výsledok, vyriešte rovnicu, kde sa rovná 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x-3=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu -3 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 1. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-1$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo x^{3}+x^{2}-3x-3 číslom x+1 a dostanete x^{2}-3. Ak chcete vyjadriť výsledok, vyriešte rovnicu, kde sa rovná 0.

$$x^{2}-3=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, 0 výrazom b a -3 výrazom c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x^{2}-3=0, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=-\sqrt{3} x=\sqrt{3}$$

Prepíšte výraz rozložený na faktory pomocou získaných koreňov. Súčtom x^{2}-3 nie je na činitele, pretože nemá žiadne racionálne korene.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Vyhodnotiť

$$x^{4}-4x^{2}+3$$