Vyriešiť x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Riešenie pre x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, -1 výrazom b a -1 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Ak má byť výsledok súčinu kladný, výrazy x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} a x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} musia byť oba kladné alebo oba záporné. Zvážte, aký bude výsledok, ak sú oba výrazy x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} a x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} záporné.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak sú oba výrazy x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} a x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} kladné.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$