Vyriešiť x^2-x+1=0

$${ x }^{ 2 } -x+1=0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0,5-0,866025404i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}-x+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -1 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2}$$

Prirátajte 1 ku -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2}$$

Opak čísla -1 je 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 1 ku i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo i\sqrt{3} od čísla 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$x^{2}-x+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$x^{2}-x=-1$$

Číslo -1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Prirátajte -1 ku \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Rozložte x^{2}-x+\frac{1}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$