Vyriešiť x^2-4x-16>0

$${ x }^{ 2 } -4x-16 > 0$$

Riešenie pre x

$$x\in \left(-\infty,2-2\sqrt{5}\right)\cup \left(2\sqrt{5}+2,\infty\right)$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-4x-16=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, -4 výrazom b a -16 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{4±4\sqrt{5}}{2}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$\left(x-\left(2\sqrt{5}+2\right)\right)\left(x-\left(2-2\sqrt{5}\right)\right)>0$$

Ak má byť výsledok súčinu kladný, výrazy x-\left(2\sqrt{5}+2\right) a x-\left(2-2\sqrt{5}\right) musia byť oba kladné alebo oba záporné. Zvážte, aký bude výsledok, ak sú oba výrazy x-\left(2\sqrt{5}+2\right) a x-\left(2-2\sqrt{5}\right) záporné.

$$x-\left(2\sqrt{5}+2\right)<0 x-\left(2-2\sqrt{5}\right)<0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x<2-2\sqrt{5}.

$$x<2-2\sqrt{5}$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak sú oba výrazy x-\left(2\sqrt{5}+2\right) a x-\left(2-2\sqrt{5}\right) kladné.

$$x-\left(2-2\sqrt{5}\right)>0 x-\left(2\sqrt{5}+2\right)>0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x>2\sqrt{5}+2.

$$x>2\sqrt{5}+2$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x<2-2\sqrt{5}\text{; }x>2\sqrt{5}+2$$