Vyriešiť x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Riešenie pre x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, -3 výrazom b a 1 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Ak má byť výsledok súčinu záporný, výrazy x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} a x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} musia mať opačné znamienka. Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} kladný a výraz x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} záporný.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Toto má hodnotu False pre každú premennú x.

$$x\in \emptyset$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} kladný a výraz x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} záporný.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$