Vyriešiť x^2-18x+65=0

$${ x }^{ 2 } -18x+65=0$$

Riešenie pre x

$$x=5$$

$$x=13$$

Postup pri rozkladaní na faktory

Ak chcete vyriešiť rovnicu, faktor x^{2}-18x+65 pomocou vzorca x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-18 ab=65$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 65.

$$-1,-65 -5,-13$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -18 súčtu.

$$a=-13 b=-5$$

Prepíšte výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-13=0 a x-5=0.

$$x=13 x=5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx+65. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-18 ab=1\times 65=65$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 65.

$$-1,-65 -5,-13$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -18 súčtu.

$$a=-13 b=-5$$

Zapíšte x^{2}-18x+65 ako výraz \left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right)$$

x na prvej skupine a -5 v druhá skupina.

$$x\left(x-13\right)-5\left(x-13\right)$$

Vyberte spoločný člen x-13 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-13=0 a x-5=0.

$$x=13 x=5$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -18 za b a 65 za c.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 65}}{2}$$

Umocnite číslo -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 65}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 65.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-260}}{2}$$

Prirátajte 324 ku -260.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 64.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±8}{2}$$

Opak čísla -18 je 18.

$$x=\frac{18±8}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{18±8}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 18 ku 8.

$$x=\frac{26}{2}$$

Vydeľte číslo 26 číslom 2.

$$x=13$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{18±8}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 8 od čísla 18.

$$x=\frac{10}{2}$$

Vydeľte číslo 10 číslom 2.

$$x=5$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=13 x=5$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Odčítajte hodnotu 65 od oboch strán rovnice.

$$x^{2}-18x+65-65=-65$$

Výsledkom odčítania čísla 65 od seba samého bude 0.

$$x^{2}-18x=-65$$

Číslo -18, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -9. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -9. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=-65+\left(-9\right)^{2}$$

Umocnite číslo -9.

$$x^{2}-18x+81=-65+81$$

Prirátajte -65 ku 81.

$$x^{2}-18x+81=16$$

Rozložte x^{2}-18x+81 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=16$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Zjednodušte.

$$x-9=4 x-9=-4$$

Prirátajte 9 ku obom stranám rovnice.

$$x=13 x=5$$