Vyriešiť x^2+left(5-xright)^2-16=x(5-x)

$${ x }^{ 2 } + { \left(5-x \right) }^{ 2 } -16=x(5-x)$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 5}{2} \approx 4,302775638$$

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\approx 0,697224362$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(5-x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+25-10x+x^{2}-16=x\left(5-x\right)$$

Skombinovaním x^{2} a x^{2} získate 2x^{2}.

$$2x^{2}+25-10x-16=x\left(5-x\right)$$

Odčítajte 16 z 25 a dostanete 9.

$$2x^{2}+9-10x=x\left(5-x\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a 5-x.

$$2x^{2}+9-10x=5x-x^{2}$$

Odčítajte 5x z oboch strán.

$$2x^{2}+9-10x-5x=-x^{2}$$

Skombinovaním -10x a -5x získate -15x.

$$2x^{2}+9-15x=-x^{2}$$

Pridať položku x^{2} na obidve snímky.

$$2x^{2}+9-15x+x^{2}=0$$

Skombinovaním 2x^{2} a x^{2} získate 3x^{2}.

$$3x^{2}+9-15x=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}-15x+9=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -15 za b a 9 za c.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\times 9}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom 9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-108}}{2\times 3}$$

Prirátajte 225 ku -108.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{117}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 117.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Opak čísla -15 je 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{15±3\sqrt{13}}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{15±3\sqrt{13}}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 15 ku 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+15}{6}$$

Vydeľte číslo 15+3\sqrt{13} číslom 6.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{15±3\sqrt{13}}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 3\sqrt{13} od čísla 15.

$$x=\frac{15-3\sqrt{13}}{6}$$

Vydeľte číslo 15-3\sqrt{13} číslom 6.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(5-x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+25-10x+x^{2}-16=x\left(5-x\right)$$

Skombinovaním x^{2} a x^{2} získate 2x^{2}.

$$2x^{2}+25-10x-16=x\left(5-x\right)$$

Odčítajte 16 z 25 a dostanete 9.

$$2x^{2}+9-10x=x\left(5-x\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a 5-x.

$$2x^{2}+9-10x=5x-x^{2}$$

Odčítajte 5x z oboch strán.

$$2x^{2}+9-10x-5x=-x^{2}$$

Skombinovaním -10x a -5x získate -15x.

$$2x^{2}+9-15x=-x^{2}$$

Pridať položku x^{2} na obidve snímky.

$$2x^{2}+9-15x+x^{2}=0$$

Skombinovaním 2x^{2} a x^{2} získate 3x^{2}.

$$3x^{2}+9-15x=0$$

Odčítajte 9 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$3x^{2}-15x=-9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=-\frac{9}{3}$$

Vydeľte číslo -15 číslom 3.

$$x^{2}-5x=-\frac{9}{3}$$

Vydeľte číslo -9 číslom 3.

$$x^{2}-5x=-3$$

Číslo -5, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-3+\frac{25}{4}$$

Prirátajte -3 ku \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{13}{4}$$

Rozložte x^{2}-5x+\frac{25}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

Prirátajte \frac{5}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$$