Vyriešiť x^2+5/x^2=1

$${ x }^{ 2 } + \frac{ 5 }{ { x }^{ 2 } } =1$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}}\approx 1,169629851+0,931683417i$$

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}\approx -1,169629851-0,931683417i$$

$$x=\sqrt[4]{5}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}}\approx 1,169629851-0,931683417i$$

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}\approx -1,169629851+0,931683417i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Premenná x sa nemôže rovnať 0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice premennou x^{2}.

$$x^{2}x^{2}+5=x^{2}$$

Ak chcete vynásobiť mocniny rovnakého mocnenca, sčítajte ich mocniteľov. Sčítaním čísel 2 a 2 dostanete 4.

$$x^{4}+5=x^{2}$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$x^{4}+5-x^{2}=0$$

Náhrada t za x^{2}.

$$t^{2}-t+5=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, -1 výrazom b a 5 výrazom c.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 5}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$t=\frac{1±\sqrt{-19}}{2}$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{1±\sqrt{-19}}{2}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$t=\frac{1+\sqrt{19}i}{2} t=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2}$$

Keďže x=t^{2}, riešenia sa získajú vyhodnotením x=±\sqrt{t} pre každé t.

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}} x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}} x=\sqrt[4]{5}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}} x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}$$

Premenná x sa nemôže rovnať 0.

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[4]{5}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}\text{, }x\neq 0$$