Vyriešiť left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Riešenie pre x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(x+14\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x+11\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x^{2}+22x+121, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Skombinovaním x^{2} a -x^{2} získate 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Skombinovaním 28x a -22x získate 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Odčítajte 121 z 196 a dostanete 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x-6\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Pridať položku 12x na obidve snímky.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Skombinovaním 6x a 12x získate 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Odčítajte 36 z oboch strán.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Odčítajte 36 z 75 a dostanete 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, 18 za b a 39 za c.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 324 ku 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -18 ku 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Vydeľte číslo -18+4\sqrt{30} číslom -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 4\sqrt{30} od čísla -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Vydeľte číslo -18-4\sqrt{30} číslom -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(x+14\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x+11\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x^{2}+22x+121, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Skombinovaním x^{2} a -x^{2} získate 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Skombinovaním 28x a -22x získate 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Odčítajte 121 z 196 a dostanete 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x-6\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Pridať položku 12x na obidve snímky.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Skombinovaním 6x a 12x získate 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Odčítajte 75 z oboch strán.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Odčítajte 75 z 36 a dostanete -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Vydeľte číslo 18 číslom -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Vydeľte číslo -39 číslom -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Číslo -18, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -9. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -9. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Umocnite číslo -9.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Prirátajte 39 ku 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Rozložte x^{2}-18x+81 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Zjednodušte.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Prirátajte 9 ku obom stranám rovnice.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$