Vyriešiť left(4+xright)^2+left(3+xright)^2=49

$${ \left(4+x \right) }^{ 2 } + { \left(3+x \right) }^{ 2 } = 49$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{97} - 7}{2} \approx 1,424428901$$

$$x=\frac{-\sqrt{97}-7}{2}\approx -8,424428901$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(4+x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$16+8x+x^{2}+\left(3+x\right)^{2}=49$$

Na rozloženie výrazu \left(3+x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$16+8x+x^{2}+9+6x+x^{2}=49$$

Sčítaním 16 a 9 získate 25.

$$25+8x+x^{2}+6x+x^{2}=49$$

Skombinovaním 8x a 6x získate 14x.

$$25+14x+x^{2}+x^{2}=49$$

Skombinovaním x^{2} a x^{2} získate 2x^{2}.

$$25+14x+2x^{2}=49$$

Odčítajte 49 z oboch strán.

$$25+14x+2x^{2}-49=0$$

Odčítajte 49 z 25 a dostanete -24.

$$-24+14x+2x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2x^{2}+14x-24=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, 14 za b a -24 za c.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+192}}{2\times 2}$$

Prirátajte 196 ku 192.

$$x=\frac{-14±\sqrt{388}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 388.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{97}}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-14±2\sqrt{97}}{4}, keď ± je plus. Prirátajte -14 ku 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}-14}{4}$$

Vydeľte číslo -14+2\sqrt{97} číslom 4.

$$x=\frac{\sqrt{97}-7}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-14±2\sqrt{97}}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{97} od čísla -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{97}-14}{4}$$

Vydeľte číslo -14-2\sqrt{97} číslom 4.

$$x=\frac{-\sqrt{97}-7}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{97}-7}{2} x=\frac{-\sqrt{97}-7}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(4+x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$16+8x+x^{2}+\left(3+x\right)^{2}=49$$

Na rozloženie výrazu \left(3+x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$16+8x+x^{2}+9+6x+x^{2}=49$$

Sčítaním 16 a 9 získate 25.

$$25+8x+x^{2}+6x+x^{2}=49$$

Skombinovaním 8x a 6x získate 14x.

$$25+14x+x^{2}+x^{2}=49$$

Skombinovaním x^{2} a x^{2} získate 2x^{2}.

$$25+14x+2x^{2}=49$$

Odčítajte 25 z oboch strán.

$$14x+2x^{2}=49-25$$

Odčítajte 25 z 49 a dostanete 24.

$$14x+2x^{2}=24$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+14x=24$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}+14x}{2}=\frac{24}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$x^{2}+\frac{14}{2}x=\frac{24}{2}$$

Vydeľte číslo 14 číslom 2.

$$x^{2}+7x=\frac{24}{2}$$

Vydeľte číslo 24 číslom 2.

$$x^{2}+7x=12$$

Číslo 7, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{7}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{7}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{7}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=12+\frac{49}{4}$$

Prirátajte 12 ku \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{97}{4}$$

Rozložte x^{2}+7x+\frac{49}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{97}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{97}}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{97}}{2}$$

Odčítajte hodnotu \frac{7}{2} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{97}-7}{2} x=\frac{-\sqrt{97}-7}{2}$$