Vyriešiť left(2x-5right)^2+x^2+6(2x-5)-12x+20=0

$${ \left(2x-5 \right) }^{ 2 } + { x }^{ 2 } +6(2x-5)-12x+20=0$$

Riešenie pre x

$$x=1$$

$$x=3$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Na rozloženie výrazu \left(2x-5\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Skombinovaním 4x^{2} a x^{2} získate 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 6 a 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Skombinovaním -20x a 12x získate -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Odčítajte 30 z 25 a dostanete -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Skombinovaním -8x a -12x získate -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Sčítaním -5 a 20 získate 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$x^{2}-4x+3=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx+3. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Jedinou takou dvojicou je systémové riešenie.

$$a=-3 b=-1$$

Zapíšte x^{2}-4x+3 ako výraz \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

x na prvej skupine a -1 v druhá skupina.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Vyberte spoločný člen x-3 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-3=0 a x-1=0.

$$x=3 x=1$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(2x-5\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Skombinovaním 4x^{2} a x^{2} získate 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 6 a 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Skombinovaním -20x a 12x získate -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Odčítajte 30 z 25 a dostanete -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Skombinovaním -8x a -12x získate -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Sčítaním -5 a 20 získate 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, -20 za b a 15 za c.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

Prirátajte 400 ku -300.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 100.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

Opak čísla -20 je 20.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{20±10}{10}, keď ± je plus. Prirátajte 20 ku 10.

$$x=\frac{30}{10}$$

Vydeľte číslo 30 číslom 10.

$$x=3$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{20±10}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 10 od čísla 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Vydeľte číslo 10 číslom 10.

$$x=1$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=3 x=1$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(2x-5\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Skombinovaním 4x^{2} a x^{2} získate 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 6 a 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Skombinovaním -20x a 12x získate -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Odčítajte 30 z 25 a dostanete -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Skombinovaním -8x a -12x získate -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Sčítaním -5 a 20 získate 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Odčítajte 15 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$5x^{2}-20x=-15$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

Vydeľte číslo -20 číslom 5.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

Vydeľte číslo -15 číslom 5.

$$x^{2}-4x=-3$$

Číslo -4, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -2. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -2. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Umocnite číslo -2.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Prirátajte -3 ku 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Rozložte x^{2}-4x+4 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Zjednodušte.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Prirátajte 2 ku obom stranám rovnice.

$$x=3 x=1$$