Vyriešiť {left(05sqrt{3}xright)}^2+left(5-15xright)^2=left(1+xright)^2

$${ \left(05 \sqrt{ 3 } x \right) }^{ 2 } + { \left(5-15x \right) }^{ 2 } = { \left(1+x \right) }^{ 2 }$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Vynásobením 0 a 5 získate 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Výsledkom násobenia nulou je nula.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 0 a dostanete 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(5-15x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Sčítaním 0 a 25 získate 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(1+x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Odčítajte 1 z oboch strán.

$$25-150x+225x^{2}-1=2x+x^{2}$$

Odčítajte 1 z 25 a dostanete 24.

$$24-150x+225x^{2}=2x+x^{2}$$

Odčítajte 2x z oboch strán.

$$24-150x+225x^{2}-2x=x^{2}$$

Skombinovaním -150x a -2x získate -152x.

$$24-152x+225x^{2}=x^{2}$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$24-152x+225x^{2}-x^{2}=0$$

Skombinovaním 225x^{2} a -x^{2} získate 224x^{2}.

$$24-152x+224x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$224x^{2}-152x+24=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 224 za a, -152 za b a 24 za c.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{\left(-152\right)^{2}-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Umocnite číslo -152.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 224.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-896\times 24}}{2\times 224}$$

Vynásobte číslo -896 číslom 24.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-21504}}{2\times 224}$$

Prirátajte 23104 ku -21504.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{1600}}{2\times 224}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1600.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±40}{2\times 224}$$

Opak čísla -152 je 152.

$$x=\frac{152±40}{2\times 224}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 224.

$$x=\frac{152±40}{448}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{152±40}{448}, keď ± je plus. Prirátajte 152 ku 40.

$$x=\frac{192}{448}$$

Vykráťte zlomok \frac{192}{448} na základný tvar extrakciou a elimináciou 64.

$$x=\frac{3}{7}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{152±40}{448}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 40 od čísla 152.

$$x=\frac{112}{448}$$

Vykráťte zlomok \frac{112}{448} na základný tvar extrakciou a elimináciou 112.

$$x=\frac{1}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Vynásobením 0 a 5 získate 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Výsledkom násobenia nulou je nula.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 0 a dostanete 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(5-15x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Sčítaním 0 a 25 získate 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(1+x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Odčítajte 2x z oboch strán.

$$25-150x+225x^{2}-2x=1+x^{2}$$

Skombinovaním -150x a -2x získate -152x.

$$25-152x+225x^{2}=1+x^{2}$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$25-152x+225x^{2}-x^{2}=1$$

Skombinovaním 225x^{2} a -x^{2} získate 224x^{2}.

$$25-152x+224x^{2}=1$$

Odčítajte 25 z oboch strán.

$$-152x+224x^{2}=1-25$$

Odčítajte 25 z 1 a dostanete -24.

$$-152x+224x^{2}=-24$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$224x^{2}-152x=-24$$

Vydeľte obe strany hodnotou 224.

$$\frac{224x^{2}-152x}{224}=-\frac{24}{224}$$

Delenie číslom 224 ruší násobenie číslom 224.

$$x^{2}+\left(-\frac{152}{224}\right)x=-\frac{24}{224}$$

Vykráťte zlomok \frac{-152}{224} na základný tvar extrakciou a elimináciou 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{24}{224}$$

Vykráťte zlomok \frac{-24}{224} na základný tvar extrakciou a elimináciou 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{3}{28}$$

Číslo -\frac{19}{28}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{19}{56}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{19}{56}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}=-\frac{3}{28}+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{19}{56} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=-\frac{3}{28}+\frac{361}{3136}$$

Prirátajte -\frac{3}{28} ku \frac{361}{3136} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=\frac{25}{3136}$$

Rozložte x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}=\frac{25}{3136}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{3136}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{19}{56}=\frac{5}{56} x-\frac{19}{56}=-\frac{5}{56}$$

Prirátajte \frac{19}{56} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$