Vyriešiť {left(frac{1-sqrt{3}}{1+sqrt{3}}right)}^2+{left(frac{1+sqrt{3}}{1-sqrt{3}}right)}^2

$${ \left( \frac{ 1- \sqrt{ 3 } }{ 1+ \sqrt{ 3 } } \right) }^{ 2 } + { \left( \frac{ 1+ \sqrt{ 3 } }{ 1- \sqrt{ 3 } } \right) }^{ 2 }$$

Vyhodnotiť

$$14$$

Postup riešenia

Preveďte menovateľa \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 1-\sqrt{3}.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Zvážte \left(1+\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{1^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Umocnite číslo 1. Umocnite číslo \sqrt{3}.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{1-3}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Odčítajte 3 z 1 a dostanete -2.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Vynásobením 1-\sqrt{3} a 1-\sqrt{3} získate \left(1-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(1-\sqrt{3}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\frac{1-2\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Druhá mocnina \sqrt{3} je 3.

$$\left(\frac{1-2\sqrt{3}+3}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Sčítaním 1 a 3 získate 4.

$$\left(\frac{4-2\sqrt{3}}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Vydeľte jednotlivé členy výrazu 4-2\sqrt{3} číslom -2 a dostanete -2+\sqrt{3}.

$$\left(-2+\sqrt{3}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(-2+\sqrt{3}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Druhá mocnina \sqrt{3} je 3.

$$4-4\sqrt{3}+3+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Sčítaním 4 a 3 získate 7.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Preveďte menovateľa \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 1+\sqrt{3}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}\right)^{2}$$

Zvážte \left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{1^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\right)^{2}$$

Umocnite číslo 1. Umocnite číslo \sqrt{3}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{1-3}\right)^{2}$$

Odčítajte 3 z 1 a dostanete -2.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{-2}\right)^{2}$$

Vynásobením 1+\sqrt{3} a 1+\sqrt{3} získate \left(1+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}}{-2}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(1+\sqrt{3}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{1+2\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-2}\right)^{2}$$

Druhá mocnina \sqrt{3} je 3.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{1+2\sqrt{3}+3}{-2}\right)^{2}$$

Sčítaním 1 a 3 získate 4.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}\right)^{2}$$

Vydeľte jednotlivé členy výrazu 4+2\sqrt{3} číslom -2 a dostanete -2-\sqrt{3}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(-2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(-2-\sqrt{3}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$7-4\sqrt{3}+4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Druhá mocnina \sqrt{3} je 3.

$$7-4\sqrt{3}+4+4\sqrt{3}+3$$

Sčítaním 4 a 3 získate 7.

$$7-4\sqrt{3}+7+4\sqrt{3}$$

Sčítaním 7 a 7 získate 14.

$$14-4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Skombinovaním -4\sqrt{3} a 4\sqrt{3} získate 0.

$$14$$

Rozložiť na faktory

$$2\times 7$$