Vyriešiť {left(1/4xright)}^2+{left(80/4-1/4xright)}^2=200

$${ \left( \frac{ 1 }{ 4 } x \right) }^{ 2 } + { \left( \frac{ 80 }{ 4 } - \frac{ 1 }{ 4 } x \right) }^{ 2 } =200$$

Riešenie pre x

$$x=40$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Rozšírte exponent \left(\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \frac{1}{4} a dostanete \frac{1}{16}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Vydeľte číslo 80 číslom 4 a dostanete 20.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Na rozloženie výrazu \left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+400-10x+\frac{1}{16}x^{2}=200$$

Skombinovaním \frac{1}{16}x^{2} a \frac{1}{16}x^{2} získate \frac{1}{8}x^{2}.

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x=200$$

Odčítajte 200 z oboch strán.

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x-200=0$$

Odčítajte 200 z 400 a dostanete 200.

$$\frac{1}{8}x^{2}+200-10x=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x+200=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte \frac{1}{8} za a, -10 za b a 200 za c.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times \frac{1}{8}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Umocnite číslo -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times \frac{1}{8}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Vynásobte číslo -4 číslom \frac{1}{8}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-\frac{1}{2}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{2} číslom 200.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Prirátajte 100 ku -100.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{0}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-10}{2\times \frac{1}{8}}$$

Opak čísla -10 je 10.

$$x=\frac{10}{2\times \frac{1}{8}}$$

Vynásobte číslo 2 číslom \frac{1}{8}.

$$x=\frac{10}{\frac{1}{4}}$$

Vydeľte číslo 10 zlomkom \frac{1}{4} tak, že číslo 10 vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku \frac{1}{4}.

$$x=40$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Rozšírte exponent \left(\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \frac{1}{4} a dostanete \frac{1}{16}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Vydeľte číslo 80 číslom 4 a dostanete 20.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Na rozloženie výrazu \left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+400-10x+\frac{1}{16}x^{2}=200$$

Skombinovaním \frac{1}{16}x^{2} a \frac{1}{16}x^{2} získate \frac{1}{8}x^{2}.

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x=200$$

Odčítajte 400 z oboch strán.

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x=200-400$$

Odčítajte 400 z 200 a dostanete -200.

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x=-200$$

Vynásobte obe strany hodnotou 8.

$$\frac{\frac{1}{8}x^{2}-10x}{\frac{1}{8}}=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

Delenie číslom \frac{1}{8} ruší násobenie číslom \frac{1}{8}.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{\frac{1}{8}}\right)x=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

Vydeľte číslo -10 zlomkom \frac{1}{8} tak, že číslo -10 vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku \frac{1}{8}.

$$x^{2}-80x=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

Vydeľte číslo -200 zlomkom \frac{1}{8} tak, že číslo -200 vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku \frac{1}{8}.

$$x^{2}-80x=-1600$$

Číslo -80, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -40. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -40. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-80x+\left(-40\right)^{2}=-1600+\left(-40\right)^{2}$$

Umocnite číslo -40.

$$x^{2}-80x+1600=-1600+1600$$

Prirátajte -1600 ku 1600.

$$x^{2}-80x+1600=0$$

Rozložte x^{2}-80x+1600 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-40\right)^{2}=0$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-40\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Zjednodušte.

$$x-40=0 x-40=0$$

Prirátajte 40 ku obom stranám rovnice.

$$x=40 x=40$$

Teraz je rovnica vyriešená. Riešenia sú rovnaké.

$$x=40$$