Vyriešiť {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Vyhodnotiť

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Postup riešenia

Preveďte menovateľa \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Zvážte \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Umocnite číslo \sqrt{3}. Umocnite číslo 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Odčítajte 1 z 3 a dostanete 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Vynásobením \sqrt{3}+1 a \sqrt{3}+1 získate \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(\sqrt{3}+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Druhá mocnina \sqrt{3} je 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Sčítaním 3 a 1 získate 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Vydeľte jednotlivé členy výrazu 4+2\sqrt{3} číslom 2 a dostanete 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(2+\sqrt{3}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Druhá mocnina \sqrt{3} je 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Sčítaním 4 a 3 získate 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Rozšíriť

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Postup riešenia

Preveďte menovateľa \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Zvážte \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Umocnite číslo \sqrt{3}. Umocnite číslo 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Odčítajte 1 z 3 a dostanete 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Vynásobením \sqrt{3}+1 a \sqrt{3}+1 získate \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(\sqrt{3}+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Druhá mocnina \sqrt{3} je 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Sčítaním 3 a 1 získate 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Vydeľte jednotlivé členy výrazu 4+2\sqrt{3} číslom 2 a dostanete 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(2+\sqrt{3}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Druhá mocnina \sqrt{3} je 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Sčítaním 4 a 3 získate 7.

$$7+4\sqrt{3}$$