Vyriešiť sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2}

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

Riešenie pre x

$$x=1$$

$$x=-1$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu \sqrt{1+x} od oboch strán rovnice.

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{1-x} a dostanete 1-x.

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Druhá mocnina \sqrt{2} je 2.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{1+x} a dostanete 1+x.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

Sčítaním 2 a 1 získate 3.

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

Odčítajte hodnotu 3+x od oboch strán rovnice.

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 3+x, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Odčítajte 3 z 1 a dostanete -2.

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Skombinovaním -x a -x získate -2x.

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(-2-2x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla -2 a dostanete 4.

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Druhá mocnina \sqrt{2} je 2.

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Vynásobením 4 a 2 získate 8.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{1+x} a dostanete 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 8 a 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

Odčítajte 8 z oboch strán.

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

Odčítajte 8 z 4 a dostanete -4.

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

Odčítajte 8x z oboch strán.

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

Skombinovaním 8x a -8x získate 0.

$$-4+4x^{2}=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$-1+x^{2}=0$$

Zvážte -1+x^{2}. Zapíšte -1+x^{2} ako výraz x^{2}-1^{2}. Rozdiel druhých mocnín môže byť rozložený na faktory použitím pravidla: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-1=0 a x+1=0.

$$x=1 x=-1$$

Dosadí 1 za x v rovnici \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Zjednodušte. Hodnota x=1 vyhovuje rovnici.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Dosadí -1 za x v rovnici \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

Zjednodušte. Hodnota x=-1 vyhovuje rovnici.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Uveďte všetky riešenia \sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}.

$$x=1 x=-1$$