Vyriešiť sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Postup riešenia

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Najmenší spoločný násobok čísiel 2 a 4 je 4. Previesť čísla \frac{1}{2} a \frac{1}{4} na zlomky s menovateľom 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Keďže \frac{2}{4} a \frac{1}{4} majú rovnakého menovateľa, sčítajte ich sčítaním čitateľov.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Sčítaním 2 a 1 získate 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Najmenší spoločný násobok čísiel 4 a 8 je 8. Previesť čísla \frac{3}{4} a \frac{1}{8} na zlomky s menovateľom 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Keďže \frac{6}{8} a \frac{1}{8} majú rovnakého menovateľa, sčítajte ich sčítaním čitateľov.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Sčítaním 6 a 1 získate 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Najmenší spoločný násobok čísiel 8 a 16 je 16. Previesť čísla \frac{7}{8} a \frac{1}{16} na zlomky s menovateľom 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Keďže \frac{14}{16} a \frac{1}{16} majú rovnakého menovateľa, sčítajte ich sčítaním čitateľov.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Sčítaním 14 a 1 získate 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} a dostanete \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, \frac{1}{2} za b a \frac{15}{16} za c.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte \frac{1}{4} ku \frac{15}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -\frac{1}{2} ku 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Vydeľte číslo \frac{3}{2} číslom -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2 od čísla -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Vydeľte číslo -\frac{5}{2} číslom -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Dosadí -\frac{3}{4} za x v rovnici \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Zjednodušte. Hodnota x=-\frac{3}{4} nevyhovuje rovnici, pretože ľavá a pravá strana rovnice majú opačné znamienka.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Dosadí \frac{5}{4} za x v rovnici \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{5}{4} vyhovuje rovnici.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Rovnica \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x má jedinečné riešenie.

$$x=\frac{5}{4}$$