Vyriešiť sqrt{x-1}-2=2sqrt{x+3}

$$\sqrt { x - 1 } - 2 = 2 \sqrt { x + 3 }$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}\approx -2,111111111-2,514157444i$$

Postup riešenia

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x-1} a dostanete x-1.

$$x-1-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Sčítaním -1 a 4 získate 3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 2 a dostanete 4.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x+3} a dostanete x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(x+3\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4 a x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4x+12$$

Odčítajte hodnotu x+3 od oboch strán rovnice.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-\left(x+3\right)$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x+3, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-x-3$$

Skombinovaním 4x a -x získate 3x.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+12-3$$

Odčítajte 3 z 12 a dostanete 9.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+9$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla -4 a dostanete 16.

$$16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x-1} a dostanete x-1.

$$16\left(x-1\right)=\left(3x+9\right)^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 16 a x-1.

$$16x-16=\left(3x+9\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(3x+9\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$16x-16=9x^{2}+54x+81$$

Odčítajte 9x^{2} z oboch strán.

$$16x-16-9x^{2}=54x+81$$

Odčítajte 54x z oboch strán.

$$16x-16-9x^{2}-54x=81$$

Skombinovaním 16x a -54x získate -38x.

$$-38x-16-9x^{2}=81$$

Odčítajte 81 z oboch strán.

$$-38x-16-9x^{2}-81=0$$

Odčítajte 81 z -16 a dostanete -97.

$$-38x-97-9x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-9x^{2}-38x-97=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -9 za a, -38 za b a -97 za c.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Umocnite číslo -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -9.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444+36\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo 36 číslom -97.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-3492}}{2\left(-9\right)}$$

Prirátajte 1444 ku -3492.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{-2048}}{2\left(-9\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -2048.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Opak čísla -38 je 38.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -9.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}, keď ± je plus. Prirátajte 38 ku 32i\sqrt{2}.

$$x=\frac{38+32\sqrt{2}i}{-18}$$

Vydeľte číslo 38+32i\sqrt{2} číslom -18.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 32i\sqrt{2} od čísla 38.

$$x=\frac{-32\sqrt{2}i+38}{-18}$$

Vydeľte číslo 38-32i\sqrt{2} číslom -18.

$$x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Dosadí \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} za x v rovnici \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} vyhovuje rovnici.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Dosadí \frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} za x v rovnici \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}+3}$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} nespĺňa rovnicu.

$$-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Dosadí \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} za x v rovnici \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} vyhovuje rovnici.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Rovnica \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} má jedinečné riešenie.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$