Vyriešiť sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Postup riešenia

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x^{2}-1} a dostanete x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{2x+1} a dostanete 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Odčítajte 2x z oboch strán.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Odčítajte 1 z oboch strán.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Odčítajte 1 z -1 a dostanete -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -2 za b a -2 za c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Umocnite číslo -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Prirátajte 4 ku 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Opak čísla -2 je 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 2 ku 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Vydeľte číslo 2+2\sqrt{3} číslom 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{3} od čísla 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Vydeľte číslo 2-2\sqrt{3} číslom 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Dosadí \sqrt{3}+1 za x v rovnici \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Zjednodušte. Hodnota x=\sqrt{3}+1 vyhovuje rovnici.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Dosadí 1-\sqrt{3} za x v rovnici \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Zjednodušte. Hodnota x=1-\sqrt{3} vyhovuje rovnici.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Uveďte všetky riešenia \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Riešenie pre x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Postup riešenia

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x^{2}-1} a dostanete x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{2x+1} a dostanete 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Odčítajte 2x z oboch strán.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Odčítajte 1 z oboch strán.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Odčítajte 1 z -1 a dostanete -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -2 za b a -2 za c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Umocnite číslo -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Prirátajte 4 ku 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Opak čísla -2 je 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 2 ku 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Vydeľte číslo 2+2\sqrt{3} číslom 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{3} od čísla 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Vydeľte číslo 2-2\sqrt{3} číslom 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Dosadí \sqrt{3}+1 za x v rovnici \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Zjednodušte. Hodnota x=\sqrt{3}+1 vyhovuje rovnici.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Dosadí 1-\sqrt{3} za x v rovnici \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Výraz \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} je nedefinovaný, pretože radicand nemôže byť záporná.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Rovnica \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} má jedinečné riešenie.

$$x=\sqrt{3}+1$$