Vyriešiť sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

Riešenie pre x

$$x=9$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu -\sqrt{13-x} od oboch strán rovnice.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x+7} a dostanete x+7.

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{13-x} a dostanete 13-x.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

Sčítaním 4 a 13 získate 17.

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

Odčítajte hodnotu 17-x od oboch strán rovnice.

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 17-x, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

Odčítajte 17 z 7 a dostanete -10.

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

Skombinovaním x a x získate 2x.

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(2x-10\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 4 a dostanete 16.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{13-x} a dostanete 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 16 a 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

Odčítajte 208 z oboch strán.

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

Odčítajte 208 z 100 a dostanete -108.

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

Pridať položku 16x na obidve snímky.

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

Skombinovaním -40x a 16x získate -24x.

$$4x^{2}-24x-108=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-27. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -27.

$$1,-27 3,-9$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -6 súčtu.

$$a=-9 b=3$$

Zapíšte x^{2}-6x-27 ako výraz \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

x na prvej skupine a 3 v druhá skupina.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Vyberte spoločný člen x-9 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-9=0 a x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Dosadí 9 za x v rovnici \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Zjednodušte. Hodnota x=9 vyhovuje rovnici.

$$2=2$$

Dosadí -3 za x v rovnici \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

Zjednodušte. Hodnota x=-3 nevyhovuje rovnici, pretože ľavá a pravá strana rovnice majú opačné znamienka.

$$-2=2$$

Dosadí 9 za x v rovnici \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Zjednodušte. Hodnota x=9 vyhovuje rovnici.

$$2=2$$

Rovnica \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 má jedinečné riešenie.

$$x=9$$