Vyriešiť sqrt{x+5}-sqrt{3x-2}=1

$$\sqrt { x + 5 } - \sqrt { 3 x - 2 } = 1$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{9 - \sqrt{37}}{2} \approx 1,458618735$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu -\sqrt{3x-2} od oboch strán rovnice.

$$\sqrt{x+5}=1+\sqrt{3x-2}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x+5} a dostanete x+5.

$$x+5=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x+5=1+2\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{3x-2} a dostanete 3x-2.

$$x+5=1+2\sqrt{3x-2}+3x-2$$

Odčítajte 2 z 1 a dostanete -1.

$$x+5=-1+2\sqrt{3x-2}+3x$$

Odčítajte hodnotu -1+3x od oboch strán rovnice.

$$x+5-\left(-1+3x\right)=2\sqrt{3x-2}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu -1+3x, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$x+5+1-3x=2\sqrt{3x-2}$$

Sčítaním 5 a 1 získate 6.

$$x+6-3x=2\sqrt{3x-2}$$

Skombinovaním x a -3x získate -2x.

$$-2x+6=2\sqrt{3x-2}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(-2x+6\right)^{2}=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(-2x+6\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-24x+36=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$4x^{2}-24x+36=2^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 2 a dostanete 4.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{3x-2} a dostanete 3x-2.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(3x-2\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4 a 3x-2.

$$4x^{2}-24x+36=12x-8$$

Odčítajte 12x z oboch strán.

$$4x^{2}-24x+36-12x=-8$$

Skombinovaním -24x a -12x získate -36x.

$$4x^{2}-36x+36=-8$$

Pridať položku 8 na obidve snímky.

$$4x^{2}-36x+36+8=0$$

Sčítaním 36 a 8 získate 44.

$$4x^{2}-36x+44=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -36 za b a 44 za c.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 4\times 44}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -36.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 4\times 44}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-16\times 44}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom 44.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-704}}{2\times 4}$$

Prirátajte 1296 ku -704.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{592}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 592.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±4\sqrt{37}}{2\times 4}$$

Opak čísla -36 je 36.

$$x=\frac{36±4\sqrt{37}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 36 ku 4\sqrt{37}.

$$x=\frac{4\sqrt{37}+36}{8}$$

Vydeľte číslo 36+4\sqrt{37} číslom 8.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 4\sqrt{37} od čísla 36.

$$x=\frac{36-4\sqrt{37}}{8}$$

Vydeľte číslo 36-4\sqrt{37} číslom 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$

Dosadí \frac{\sqrt{37}+9}{2} za x v rovnici \sqrt{x+5}-\sqrt{3x-2}=1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{37}+9}{2}+5}-\sqrt{3\times \frac{\sqrt{37}+9}{2}-2}=1$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{\sqrt{37}+9}{2} nevyhovuje rovnici, pretože ľavá a pravá strana rovnice majú opačné znamienka.

$$-1=1$$

Dosadí \frac{9-\sqrt{37}}{2} za x v rovnici \sqrt{x+5}-\sqrt{3x-2}=1.

$$\sqrt{\frac{9-\sqrt{37}}{2}+5}-\sqrt{3\times \frac{9-\sqrt{37}}{2}-2}=1$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{9-\sqrt{37}}{2} vyhovuje rovnici.

$$1=1$$

Rovnica \sqrt{x+5}=\sqrt{3x-2}+1 má jedinečné riešenie.

$$x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$