Vyriešiť sqrt{x+5}+sqrt{2x+8}=1

$$\sqrt { x + 5 } + \sqrt { 2 x + 8 } = 1$$

Riešenie pre x

$$x=-4$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu \sqrt{2x+8} od oboch strán rovnice.

$$\sqrt{x+5}=1-\sqrt{2x+8}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x+5} a dostanete x+5.

$$x+5=\left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x+5=1-2\sqrt{2x+8}+\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{2x+8} a dostanete 2x+8.

$$x+5=1-2\sqrt{2x+8}+2x+8$$

Sčítaním 1 a 8 získate 9.

$$x+5=9-2\sqrt{2x+8}+2x$$

Odčítajte hodnotu 9+2x od oboch strán rovnice.

$$x+5-\left(9+2x\right)=-2\sqrt{2x+8}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 9+2x, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$x+5-9-2x=-2\sqrt{2x+8}$$

Odčítajte 9 z 5 a dostanete -4.

$$x-4-2x=-2\sqrt{2x+8}$$

Skombinovaním x a -2x získate -x.

$$-x-4=-2\sqrt{2x+8}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(-x-4\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(-x-4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+8x+16=\left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}.

$$x^{2}+8x+16=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla -2 a dostanete 4.

$$x^{2}+8x+16=4\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{2x+8} a dostanete 2x+8.

$$x^{2}+8x+16=4\left(2x+8\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4 a 2x+8.

$$x^{2}+8x+16=8x+32$$

Odčítajte 8x z oboch strán.

$$x^{2}+8x+16-8x=32$$

Skombinovaním 8x a -8x získate 0.

$$x^{2}+16=32$$

Odčítajte 32 z oboch strán.

$$x^{2}+16-32=0$$

Odčítajte 32 z 16 a dostanete -16.

$$x^{2}-16=0$$

Zvážte x^{2}-16. Zapíšte x^{2}-16 ako výraz x^{2}-4^{2}. Rozdiel druhých mocnín môže byť rozložený na faktory použitím pravidla: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-4=0 a x+4=0.

$$x=4 x=-4$$

Dosadí 4 za x v rovnici \sqrt{x+5}+\sqrt{2x+8}=1.

$$\sqrt{4+5}+\sqrt{2\times 4+8}=1$$

Zjednodušte. Hodnota x=4 nespĺňa rovnicu.

$$7=1$$

Dosadí -4 za x v rovnici \sqrt{x+5}+\sqrt{2x+8}=1.

$$\sqrt{-4+5}+\sqrt{2\left(-4\right)+8}=1$$

Zjednodušte. Hodnota x=-4 vyhovuje rovnici.

$$1=1$$

Rovnica \sqrt{x+5}=-\sqrt{2x+8}+1 má jedinečné riešenie.

$$x=-4$$