Vyriešiť sqrt{x+2}-sqrt{3x-5}=-1

$$\sqrt { x + 2 } - \sqrt { 3 x - 5 } = - 1$$

Riešenie pre x

$$x=7$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu -\sqrt{3x-5} od oboch strán rovnice.

$$\sqrt{x+2}=-1+\sqrt{3x-5}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(-1+\sqrt{3x-5}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x+2} a dostanete x+2.

$$x+2=\left(-1+\sqrt{3x-5}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(-1+\sqrt{3x-5}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x+2=1-2\sqrt{3x-5}+\left(\sqrt{3x-5}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{3x-5} a dostanete 3x-5.

$$x+2=1-2\sqrt{3x-5}+3x-5$$

Odčítajte 5 z 1 a dostanete -4.

$$x+2=-4-2\sqrt{3x-5}+3x$$

Odčítajte hodnotu -4+3x od oboch strán rovnice.

$$x+2-\left(-4+3x\right)=-2\sqrt{3x-5}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu -4+3x, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$x+2+4-3x=-2\sqrt{3x-5}$$

Sčítaním 2 a 4 získate 6.

$$x+6-3x=-2\sqrt{3x-5}$$

Skombinovaním x a -3x získate -2x.

$$-2x+6=-2\sqrt{3x-5}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(-2x+6\right)^{2}=\left(-2\sqrt{3x-5}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(-2x+6\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-24x+36=\left(-2\sqrt{3x-5}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(-2\sqrt{3x-5}\right)^{2}.

$$4x^{2}-24x+36=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{3x-5}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla -2 a dostanete 4.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(\sqrt{3x-5}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{3x-5} a dostanete 3x-5.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(3x-5\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4 a 3x-5.

$$4x^{2}-24x+36=12x-20$$

Odčítajte 12x z oboch strán.

$$4x^{2}-24x+36-12x=-20$$

Skombinovaním -24x a -12x získate -36x.

$$4x^{2}-36x+36=-20$$

Pridať položku 20 na obidve snímky.

$$4x^{2}-36x+36+20=0$$

Sčítaním 36 a 20 získate 56.

$$4x^{2}-36x+56=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x^{2}-9x+14=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx+14. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-9 ab=1\times 14=14$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -9 súčtu.

$$a=-7 b=-2$$

Zapíšte x^{2}-9x+14 ako výraz \left(x^{2}-7x\right)+\left(-2x+14\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-2x+14\right)$$

x na prvej skupine a -2 v druhá skupina.

$$x\left(x-7\right)-2\left(x-7\right)$$

Vyberte spoločný člen x-7 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-7\right)\left(x-2\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-7=0 a x-2=0.

$$x=7 x=2$$

Dosadí 7 za x v rovnici \sqrt{x+2}-\sqrt{3x-5}=-1.

$$\sqrt{7+2}-\sqrt{3\times 7-5}=-1$$

Zjednodušte. Hodnota x=7 vyhovuje rovnici.

$$-1=-1$$

Dosadí 2 za x v rovnici \sqrt{x+2}-\sqrt{3x-5}=-1.

$$\sqrt{2+2}-\sqrt{3\times 2-5}=-1$$

Zjednodušte. Hodnota x=2 nevyhovuje rovnici, pretože ľavá a pravá strana rovnice majú opačné znamienka.

$$1=-1$$

Dosadí 7 za x v rovnici \sqrt{x+2}-\sqrt{3x-5}=-1.

$$\sqrt{7+2}-\sqrt{3\times 7-5}=-1$$

Zjednodušte. Hodnota x=7 vyhovuje rovnici.

$$-1=-1$$

Rovnica \sqrt{x+2}=\sqrt{3x-5}-1 má jedinečné riešenie.

$$x=7$$