Vyriešiť sqrt{6x-1}-sqrt{5x+4}=9

$$\sqrt { 6 x - 1 } - \sqrt { 5 x + 4 } = 9$$

Riešenie pre x

$$x=18\sqrt{2459}+896\approx 1788,589491312$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu -\sqrt{5x+4} od oboch strán rovnice.

$$\sqrt{6x-1}=9+\sqrt{5x+4}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{6x-1}\right)^{2}=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{6x-1} a dostanete 6x-1.

$$6x-1=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{5x+4} a dostanete 5x+4.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+5x+4$$

Sčítaním 81 a 4 získate 85.

$$6x-1=85+18\sqrt{5x+4}+5x$$

Odčítajte hodnotu 85+5x od oboch strán rovnice.

$$6x-1-\left(85+5x\right)=18\sqrt{5x+4}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 85+5x, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$6x-1-85-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Odčítajte 85 z -1 a dostanete -86.

$$6x-86-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Skombinovaním 6x a -5x získate x.

$$x-86=18\sqrt{5x+4}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(x-86\right)^{2}=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x-86\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=18^{2}\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 18 a dostanete 324.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{5x+4} a dostanete 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(5x+4\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 324 a 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=1620x+1296$$

Odčítajte 1620x z oboch strán.

$$x^{2}-172x+7396-1620x=1296$$

Skombinovaním -172x a -1620x získate -1792x.

$$x^{2}-1792x+7396=1296$$

Odčítajte 1296 z oboch strán.

$$x^{2}-1792x+7396-1296=0$$

Odčítajte 1296 z 7396 a dostanete 6100.

$$x^{2}-1792x+6100=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -1792 za b a 6100 za c.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{\left(-1792\right)^{2}-4\times 6100}}{2}$$

Umocnite číslo -1792.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-4\times 6100}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 6100.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-24400}}{2}$$

Prirátajte 3211264 ku -24400.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3186864}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 3186864.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±36\sqrt{2459}}{2}$$

Opak čísla -1792 je 1792.

$$x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 1792 ku 36\sqrt{2459}.

$$x=\frac{36\sqrt{2459}+1792}{2}$$

Vydeľte číslo 1792+36\sqrt{2459} číslom 2.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 36\sqrt{2459} od čísla 1792.

$$x=\frac{1792-36\sqrt{2459}}{2}$$

Vydeľte číslo 1792-36\sqrt{2459} číslom 2.

$$x=896-18\sqrt{2459}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=18\sqrt{2459}+896 x=896-18\sqrt{2459}$$

Dosadí 18\sqrt{2459}+896 za x v rovnici \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Zjednodušte. Hodnota x=18\sqrt{2459}+896 vyhovuje rovnici.

$$9=9$$

Dosadí 896-18\sqrt{2459} za x v rovnici \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(896-18\sqrt{2459}\right)-1}-\sqrt{5\left(896-18\sqrt{2459}\right)+4}=9$$

Zjednodušte. Hodnota x=896-18\sqrt{2459} nevyhovuje rovnici, pretože ľavá a pravá strana rovnice majú opačné znamienka.

$$99-2\times 2459^{\frac{1}{2}}=9$$

Dosadí 18\sqrt{2459}+896 za x v rovnici \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Zjednodušte. Hodnota x=18\sqrt{2459}+896 vyhovuje rovnici.

$$9=9$$

Rovnica \sqrt{6x-1}=\sqrt{5x+4}+9 má jedinečné riešenie.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$