Vyriešiť sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Riešenie pre x

$$x=2$$

Postup riešenia

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{5x-1} a dostanete 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{3x-2} a dostanete 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Skombinovaním 5x a 3x získate 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Odčítajte 2 z -1 a dostanete -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x-1} a dostanete x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Odčítajte hodnotu 8x-3 od oboch strán rovnice.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 8x-3, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Skombinovaním x a -8x získate -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Sčítaním -1 a 3 získate 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla -2 a dostanete 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{5x-1} a dostanete 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{3x-2} a dostanete 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4 a 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Použite distributívny zákon a vynásobte každý člen výrazu 20x-4 každým členom výrazu 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Skombinovaním -40x a -12x získate -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(-7x+2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Odčítajte 49x^{2} z oboch strán.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Skombinovaním 60x^{2} a -49x^{2} získate 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Pridať položku 28x na obidve snímky.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Skombinovaním -52x a 28x získate -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Odčítajte 4 z oboch strán.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Odčítajte 4 z 8 a dostanete 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 11x^{2}+ax+bx+4. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -24 súčtu.

$$a=-22 b=-2$$

Zapíšte 11x^{2}-24x+4 ako výraz \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

11x na prvej skupine a -2 v druhá skupina.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Vyberte spoločný člen x-2 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-2=0 a 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Dosadí \frac{2}{11} za x v rovnici \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Výraz \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} je nedefinovaný, pretože radicand nemôže byť záporná.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Dosadí 2 za x v rovnici \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Zjednodušte. Hodnota x=2 vyhovuje rovnici.

$$1=1$$

Rovnica \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} má jedinečné riešenie.

$$x=2$$