Vyriešiť sqrt{5x+1}-sqrt{x}=2

$$\sqrt { 5 x + 1 } - \sqrt { x } = 2$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu -\sqrt{x} od oboch strán rovnice.

$$\sqrt{5x+1}=2+\sqrt{x}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{5x+1}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{5x+1} a dostanete 5x+1.

$$5x+1=\left(2+\sqrt{x}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(2+\sqrt{x}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$5x+1=4+4\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x} a dostanete x.

$$5x+1=4+4\sqrt{x}+x$$

Odčítajte hodnotu 4+x od oboch strán rovnice.

$$5x+1-\left(4+x\right)=4\sqrt{x}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 4+x, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$5x+1-4-x=4\sqrt{x}$$

Odčítajte 4 z 1 a dostanete -3.

$$5x-3-x=4\sqrt{x}$$

Skombinovaním 5x a -x získate 4x.

$$4x-3=4\sqrt{x}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(4x-3\right)^{2}=\left(4\sqrt{x}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(4x-3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$16x^{2}-24x+9=\left(4\sqrt{x}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(4\sqrt{x}\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9=4^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 4 a dostanete 16.

$$16x^{2}-24x+9=16\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x} a dostanete x.

$$16x^{2}-24x+9=16x$$

Odčítajte 16x z oboch strán.

$$16x^{2}-24x+9-16x=0$$

Skombinovaním -24x a -16x získate -40x.

$$16x^{2}-40x+9=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 16x^{2}+ax+bx+9. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-40 ab=16\times 9=144$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -40 súčtu.

$$a=-36 b=-4$$

Zapíšte 16x^{2}-40x+9 ako výraz \left(16x^{2}-36x\right)+\left(-4x+9\right).

$$\left(16x^{2}-36x\right)+\left(-4x+9\right)$$

4x na prvej skupine a -1 v druhá skupina.

$$4x\left(4x-9\right)-\left(4x-9\right)$$

Vyberte spoločný člen 4x-9 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(4x-9\right)\left(4x-1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 4x-9=0 a 4x-1=0.

$$x=\frac{9}{4} x=\frac{1}{4}$$

Dosadí \frac{9}{4} za x v rovnici \sqrt{5x+1}-\sqrt{x}=2.

$$\sqrt{5\times \frac{9}{4}+1}-\sqrt{\frac{9}{4}}=2$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{9}{4} vyhovuje rovnici.

$$2=2$$

Dosadí \frac{1}{4} za x v rovnici \sqrt{5x+1}-\sqrt{x}=2.

$$\sqrt{5\times \frac{1}{4}+1}-\sqrt{\frac{1}{4}}=2$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{1}{4} nespĺňa rovnicu.

$$1=2$$

Dosadí \frac{9}{4} za x v rovnici \sqrt{5x+1}-\sqrt{x}=2.

$$\sqrt{5\times \frac{9}{4}+1}-\sqrt{\frac{9}{4}}=2$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{9}{4} vyhovuje rovnici.

$$2=2$$

Rovnica \sqrt{5x+1}=\sqrt{x}+2 má jedinečné riešenie.

$$x=\frac{9}{4}$$