Vyriešiť sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu -\sqrt{15+x^{2}} od oboch strán rovnice.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{25-x^{2}} a dostanete 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{15+x^{2}} a dostanete 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Sčítaním 16 a 15 získate 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Odčítajte hodnotu 31+x^{2} od oboch strán rovnice.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 31+x^{2}, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Odčítajte 31 z 25 a dostanete -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Skombinovaním -x^{2} a -x^{2} získate -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(-6-2x^{2}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 2 a 2 dostanete 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 8 a dostanete 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{15+x^{2}} a dostanete 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 64 a 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Odčítajte 960 z oboch strán.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Odčítajte 960 z 36 a dostanete -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Odčítajte 64x^{2} z oboch strán.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Skombinovaním 24x^{2} a -64x^{2} získate -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Náhrada t za x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 4 výrazom a, -40 výrazom b a -924 výrazom c.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Urobte výpočty.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{40±128}{8}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$t=21 t=-11$$

Keďže x=t^{2}, riešenia sa získajú vyhodnotením x=±\sqrt{t} pre každé t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Dosadí -\sqrt{21} za x v rovnici \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Zjednodušte. Hodnota x=-\sqrt{21} nevyhovuje rovnici, pretože ľavá a pravá strana rovnice majú opačné znamienka.

$$-4=4$$

Dosadí \sqrt{21} za x v rovnici \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Zjednodušte. Hodnota x=\sqrt{21} nevyhovuje rovnici, pretože ľavá a pravá strana rovnice majú opačné znamienka.

$$-4=4$$

Dosadí -\sqrt{11}i za x v rovnici \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Zjednodušte. Hodnota x=-\sqrt{11}i vyhovuje rovnici.

$$4=4$$

Dosadí \sqrt{11}i za x v rovnici \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Zjednodušte. Hodnota x=\sqrt{11}i vyhovuje rovnici.

$$4=4$$

Uveďte všetky riešenia \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$