Vyriešiť sqrt{2x-1}-sqrt{x-1}=sqrt{6-x}

$$\sqrt { 2 x - 1 } - \sqrt { x - 1 } = \sqrt { 6 - x }$$

Riešenie pre x

$$x=5$$

Postup riešenia

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{2x-1} a dostanete 2x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x-1} a dostanete x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+x-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Skombinovaním 2x a x získate 3x.

$$3x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Odčítajte 1 z -1 a dostanete -2.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{6-x} a dostanete 6-x.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x$$

Odčítajte hodnotu 3x-2 od oboch strán rovnice.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-\left(3x-2\right)$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 3x-2, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-3x+2$$

Skombinovaním -x a -3x získate -4x.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-4x+2$$

Sčítaním 6 a 2 získate 8.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=8-4x$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla -2 a dostanete 4.

$$4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{2x-1} a dostanete 2x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x-1} a dostanete x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4 a 2x-1.

$$\left(8x-4\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

Použite distributívny zákon a vynásobte každý člen výrazu 8x-4 každým členom výrazu x-1.

$$8x^{2}-8x-4x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

Skombinovaním -8x a -4x získate -12x.

$$8x^{2}-12x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(8-4x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$8x^{2}-12x+4=64-64x+16x^{2}$$

Odčítajte 64 z oboch strán.

$$8x^{2}-12x+4-64=-64x+16x^{2}$$

Odčítajte 64 z 4 a dostanete -60.

$$8x^{2}-12x-60=-64x+16x^{2}$$

Pridať položku 64x na obidve snímky.

$$8x^{2}-12x-60+64x=16x^{2}$$

Skombinovaním -12x a 64x získate 52x.

$$8x^{2}+52x-60=16x^{2}$$

Odčítajte 16x^{2} z oboch strán.

$$8x^{2}+52x-60-16x^{2}=0$$

Skombinovaním 8x^{2} a -16x^{2} získate -8x^{2}.

$$-8x^{2}+52x-60=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -2x^{2}+ax+bx-15. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je kladné, a a b sú oba kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 13 súčtu.

$$a=10 b=3$$

Zapíšte -2x^{2}+13x-15 ako výraz \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

2x na prvej skupine a -3 v druhá skupina.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Vyberte spoločný člen -x+5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte -x+5=0 a 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Dosadí 5 za x v rovnici \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

Zjednodušte. Hodnota x=5 vyhovuje rovnici.

$$1=1$$

Dosadí \frac{3}{2} za x v rovnici \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times \frac{3}{2}-1}-\sqrt{\frac{3}{2}-1}=\sqrt{6-\frac{3}{2}}$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{3}{2} nespĺňa rovnicu.

$$\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Dosadí 5 za x v rovnici \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

Zjednodušte. Hodnota x=5 vyhovuje rovnici.

$$1=1$$

Rovnica \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x} má jedinečné riešenie.

$$x=5$$