Vyriešiť sqrt{2x+3}+sqrt{x-2}=4

$$\sqrt { 2 x + 3 } + \sqrt { x - 2 } = 4$$

Riešenie pre x

$$x=3$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu \sqrt{x-2} od oboch strán rovnice.

$$\sqrt{2x+3}=4-\sqrt{x-2}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{2x+3}\right)^{2}=\left(4-\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{2x+3} a dostanete 2x+3.

$$2x+3=\left(4-\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(4-\sqrt{x-2}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$2x+3=16-8\sqrt{x-2}+\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x-2} a dostanete x-2.

$$2x+3=16-8\sqrt{x-2}+x-2$$

Odčítajte 2 z 16 a dostanete 14.

$$2x+3=14-8\sqrt{x-2}+x$$

Odčítajte hodnotu 14+x od oboch strán rovnice.

$$2x+3-\left(14+x\right)=-8\sqrt{x-2}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 14+x, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$2x+3-14-x=-8\sqrt{x-2}$$

Odčítajte 14 z 3 a dostanete -11.

$$2x-11-x=-8\sqrt{x-2}$$

Skombinovaním 2x a -x získate x.

$$x-11=-8\sqrt{x-2}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(x-11\right)^{2}=\left(-8\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x-11\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-22x+121=\left(-8\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(-8\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}-22x+121=\left(-8\right)^{2}\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla -8 a dostanete 64.

$$x^{2}-22x+121=64\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x-2} a dostanete x-2.

$$x^{2}-22x+121=64\left(x-2\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 64 a x-2.

$$x^{2}-22x+121=64x-128$$

Odčítajte 64x z oboch strán.

$$x^{2}-22x+121-64x=-128$$

Skombinovaním -22x a -64x získate -86x.

$$x^{2}-86x+121=-128$$

Pridať položku 128 na obidve snímky.

$$x^{2}-86x+121+128=0$$

Sčítaním 121 a 128 získate 249.

$$x^{2}-86x+249=0$$

Ak chcete vyriešiť rovnicu, faktor x^{2}-86x+249 pomocou vzorca x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-86 ab=249$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 249.

$$-1,-249 -3,-83$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-249=-250 -3-83=-86$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -86 súčtu.

$$a=-83 b=-3$$

Prepíšte výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(x-83\right)\left(x-3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-83=0 a x-3=0.

$$x=83 x=3$$

Dosadí 83 za x v rovnici \sqrt{2x+3}+\sqrt{x-2}=4.

$$\sqrt{2\times 83+3}+\sqrt{83-2}=4$$

Zjednodušte. Hodnota x=83 nespĺňa rovnicu.

$$22=4$$

Dosadí 3 za x v rovnici \sqrt{2x+3}+\sqrt{x-2}=4.

$$\sqrt{2\times 3+3}+\sqrt{3-2}=4$$

Zjednodušte. Hodnota x=3 vyhovuje rovnici.

$$4=4$$

Rovnica \sqrt{2x+3}=-\sqrt{x-2}+4 má jedinečné riešenie.

$$x=3$$