Vyriešiť sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

Postup riešenia

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{2-x} a dostanete 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x-1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Pridať položku 2x na obidve snímky.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Skombinovaním -x a 2x získate x.

$$2+x-x^{2}=1$$

Odčítajte 1 z oboch strán.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Odčítajte 1 z 2 a dostanete 1.

$$1+x-x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, 1 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 1 ku 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -1 ku \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Vydeľte číslo -1+\sqrt{5} číslom -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo \sqrt{5} od čísla -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Vydeľte číslo -1-\sqrt{5} číslom -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Dosadí \frac{1-\sqrt{5}}{2} za x v rovnici \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} nevyhovuje rovnici, pretože ľavá a pravá strana rovnice majú opačné znamienka.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Dosadí \frac{\sqrt{5}+1}{2} za x v rovnici \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} vyhovuje rovnici.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

Rovnica \sqrt{2-x}=x-1 má jedinečné riešenie.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$