Vyriešiť sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Riešenie pre x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu -\sqrt{19-x^{2}} od oboch strán rovnice.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{15+x^{2}} a dostanete 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{19-x^{2}} a dostanete 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Sčítaním 4 a 19 získate 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Odčítajte hodnotu 23-x^{2} od oboch strán rovnice.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 23-x^{2}, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Odčítajte 23 z 15 a dostanete -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Skombinovaním x^{2} a x^{2} získate 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(-8+2x^{2}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 2 a 2 dostanete 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 4 a dostanete 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{19-x^{2}} a dostanete 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 16 a 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Odčítajte 304 z oboch strán.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Odčítajte 304 z 64 a dostanete -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Pridať položku 16x^{2} na obidve snímky.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Skombinovaním -32x^{2} a 16x^{2} získate -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Náhrada t za x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 4 výrazom a, -16 výrazom b a -240 výrazom c.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Urobte výpočty.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{16±64}{8}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$t=10 t=-6$$

Keďže x=t^{2}, riešenia sa získajú vyhodnotením x=±\sqrt{t} pre každé t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Dosadí \sqrt{10} za x v rovnici \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Zjednodušte. Hodnota x=\sqrt{10} vyhovuje rovnici.

$$2=2$$

Dosadí -\sqrt{10} za x v rovnici \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Zjednodušte. Hodnota x=-\sqrt{10} vyhovuje rovnici.

$$2=2$$

Uveďte všetky riešenia \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$