Vyriešiť sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Postup riešenia

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x-2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(y-2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Sčítaním 4 a 4 získate 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} a dostanete x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Opak čísla -2 je 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x+2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(y-4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Sčítaním 4 a 16 získate 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} a dostanete x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Skombinovaním x^{2} a -x^{2} získate 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Odčítajte 4x z oboch strán.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Skombinovaním -4x a -4x získate -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Odčítajte 8 z oboch strán.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Odčítajte 8 z 20 a dostanete 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Odčítajte y^{2} z oboch strán.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Skombinovaním y^{2} a -y^{2} získate 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Pridať položku 4y na obidve snímky.

$$-8x=12-8y+4y$$

Skombinovaním -8y a 4y získate -4y.

$$-8x=12-4y$$

Vydeľte obe strany hodnotou -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

Delenie číslom -8 ruší násobenie číslom -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Vydeľte číslo 12-4y číslom -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Dosadí \frac{y-3}{2} za x v rovnici \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{y-3}{2} vyhovuje rovnici.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Rovnica \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} má jedinečné riešenie.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Riešenie pre y

$$y=2x+3$$

Postup riešenia

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x-2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(y-2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Sčítaním 4 a 4 získate 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} a dostanete x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Opak čísla -2 je 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x+2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(y-4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Sčítaním 4 a 16 získate 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} a dostanete x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Odčítajte y^{2} z oboch strán.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Skombinovaním y^{2} a -y^{2} získate 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Pridať položku 8y na obidve snímky.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Skombinovaním -4y a 8y získate 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Skombinovaním x^{2} a -x^{2} získate 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Pridať položku 4x na obidve snímky.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Skombinovaním 4x a 4x získate 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Odčítajte 8 z oboch strán.

$$4y=8x+20-8$$

Odčítajte 8 z 20 a dostanete 12.

$$4y=8x+12$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Vydeľte číslo 8x+12 číslom 4.

$$y=2x+3$$

Dosadí 2x+3 za y v rovnici \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Zjednodušte. Hodnota y=2x+3 vyhovuje rovnici.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Rovnica \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} má jedinečné riešenie.

$$y=2x+3$$