Vyriešiť sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

Riešenie pre x

$$x=y+2$$

Postup riešenia

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(7-x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(1-y\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Sčítaním 49 a 1 získate 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} a dostanete 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(3-x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(5-y\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Sčítaním 9 a 25 získate 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} a dostanete 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Pridať položku 6x na obidve snímky.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Skombinovaním -14x a 6x získate -8x.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

Skombinovaním x^{2} a -x^{2} získate 0.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

Odčítajte 50 z oboch strán.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

Odčítajte 50 z 34 a dostanete -16.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

Pridať položku 2y na obidve snímky.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

Skombinovaním -10y a 2y získate -8y.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

Odčítajte y^{2} z oboch strán.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

Skombinovaním y^{2} a -y^{2} získate 0.

$$-8x=-16-8y$$

Rovnica je v štandardnom formáte.

$$-8x=-8y-16$$

Vydeľte obe strany hodnotou -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

Delenie číslom -8 ruší násobenie číslom -8.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

Vydeľte číslo -16-8y číslom -8.

$$x=y+2$$

Dosadí y+2 za x v rovnici \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

Zjednodušte. Hodnota x=y+2 vyhovuje rovnici.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

Rovnica \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} má jedinečné riešenie.

$$x=y+2$$

Riešenie pre y

$$y=x-2$$

Postup riešenia

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(7-x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(1-y\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Sčítaním 49 a 1 získate 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} a dostanete 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(3-x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(5-y\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Sčítaním 9 a 25 získate 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} a dostanete 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Pridať položku 10y na obidve snímky.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Skombinovaním -2y a 10y získate 8y.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Odčítajte y^{2} z oboch strán.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

Skombinovaním y^{2} a -y^{2} získate 0.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

Odčítajte 50 z oboch strán.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

Odčítajte 50 z 34 a dostanete -16.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

Pridať položku 14x na obidve snímky.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

Skombinovaním -6x a 14x získate 8x.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

Skombinovaním x^{2} a -x^{2} získate 0.

$$8y=-16+8x$$

Rovnica je v štandardnom formáte.

$$8y=8x-16$$

Vydeľte obe strany hodnotou 8.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

Delenie číslom 8 ruší násobenie číslom 8.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

Vydeľte číslo -16+8x číslom 8.

$$y=x-2$$

Dosadí x-2 za y v rovnici \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

Zjednodušte. Hodnota y=x-2 vyhovuje rovnici.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

Rovnica \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} má jedinečné riešenie.

$$y=x-2$$