Vyriešiť sinh(1)=

$$\sin h ( 1 ) =$$

Derivovať podľa h

$$\cos(h)$$

Kroky využívajúce definíciu derivácie

Pre funkciu f\left(x\right) je derivácia limitou výrazu \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, ak sa h blíži k 0, ak takáto limita existuje.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(\sin(h))=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h+t)-\sin(h)}{t}\right)$$

Použite vzorec pre sínus súčtu.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(h)}{t}$$

Vyčleňte \sin(h).

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h)\left(\cos(t)-1\right)+\cos(h)\sin(t)}{t}$$

Zapíšte limitu.

$$\left(\lim_{t\to 0}\sin(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\left(\lim_{t\to 0}\cos(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Použite fakt, že h je konštanta pri rátaní limity, ak t sa blíži ku 0.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Limita \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} je 1.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)$$

Na vyhodnotenie limity \lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t} najskôr vynásobte čitateľa a menovateľa číslom \cos(t)+1.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)-1\right)\left(\cos(t)+1\right)}{t\left(\cos(t)+1\right)}\right)$$

Vynásobte číslo \cos(t)+1 číslom \cos(t)-1.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)\right)^{2}-1}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Použite Pytagorovu vetu.

$$\lim_{t\to 0}-\frac{\left(\sin(t)\right)^{2}}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Zapíšte limitu.

$$\left(\lim_{t\to 0}-\frac{\sin(t)}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Limita \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} je 1.

$$-\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Využite skutočnosť, že funkcia \frac{\sin(t)}{\cos(t)+1} je pri hodnote 0 spojitá.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)=0$$

Dosaďte hodnotu 0 do výrazu \sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h).

$$\cos(h)$$

Vyhodnotiť

$$\sin(h)$$