Vyriešiť quadtext{17}x-3/x+3+x+3/x-3=21/2

$$\quad \text { 17 } \frac { x - 3 } { x + 3 } + \frac { x + 3 } { x - 3 } = 2 \frac { 1 } { 2 }$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}\approx 3,096774194-1,520925837i$$

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}\approx 3,096774194+1,520925837i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -3,3, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 2\left(x-3\right)\left(x+3\right), najmenším spoločným násobkom čísla x+3,x-3,2.

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 17 a 2x-6.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 34x-102 a x-3 a zlúčenie podobných členov.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 2x+6 a x+3 a zlúčenie podobných členov.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Skombinovaním 34x^{2} a 2x^{2} získate 36x^{2}.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Skombinovaním -204x a 12x získate -192x.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Sčítaním 306 a 18 získate 324.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Vynásobením 2 a 2 získate 4.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

Sčítaním 4 a 1 získate 5.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x^{2}-9 a 5.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Odčítajte 5x^{2} z oboch strán.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

Skombinovaním 36x^{2} a -5x^{2} získate 31x^{2}.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Pridať položku 45 na obidve snímky.

$$31x^{2}-192x+324+45=0$$

Sčítaním 324 a 45 získate 369.

$$31x^{2}-192x+369=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 31 za a, -192 za b a 369 za c.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{\left(-192\right)^{2}-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

Umocnite číslo -192.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 31.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-124\times 369}}{2\times 31}$$

Vynásobte číslo -124 číslom 369.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-45756}}{2\times 31}$$

Prirátajte 36864 ku -45756.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{-8892}}{2\times 31}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -8892.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

Opak čísla -192 je 192.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 31.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62}, keď ± je plus. Prirátajte 192 ku 6i\sqrt{247}.

$$x=\frac{192+6\sqrt{247}i}{62}$$

Vydeľte číslo 192+6i\sqrt{247} číslom 62.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 6i\sqrt{247} od čísla 192.

$$x=\frac{-6\sqrt{247}i+192}{62}$$

Vydeľte číslo 192-6i\sqrt{247} číslom 62.

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -3,3, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 2\left(x-3\right)\left(x+3\right), najmenším spoločným násobkom čísla x+3,x-3,2.

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 17 a 2x-6.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 34x-102 a x-3 a zlúčenie podobných členov.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 2x+6 a x+3 a zlúčenie podobných členov.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Skombinovaním 34x^{2} a 2x^{2} získate 36x^{2}.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Skombinovaním -204x a 12x získate -192x.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Sčítaním 306 a 18 získate 324.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Vynásobením 2 a 2 získate 4.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

Sčítaním 4 a 1 získate 5.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x^{2}-9 a 5.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Odčítajte 5x^{2} z oboch strán.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

Skombinovaním 36x^{2} a -5x^{2} získate 31x^{2}.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Odčítajte 324 z oboch strán.

$$31x^{2}-192x=-45-324$$

Odčítajte 324 z -45 a dostanete -369.

$$31x^{2}-192x=-369$$

Vydeľte obe strany hodnotou 31.

$$\frac{31x^{2}-192x}{31}=-\frac{369}{31}$$

Delenie číslom 31 ruší násobenie číslom 31.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x=-\frac{369}{31}$$

Číslo -\frac{192}{31}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{96}{31}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{96}{31}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{369}{31}+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{96}{31} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{369}{31}+\frac{9216}{961}$$

Prirátajte -\frac{369}{31} ku \frac{9216}{961} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{2223}{961}$$

Rozložte x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{2223}{961}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2223}{961}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{96}{31}=\frac{3\sqrt{247}i}{31} x-\frac{96}{31}=-\frac{3\sqrt{247}i}{31}$$

Prirátajte \frac{96}{31} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$