Vyriešiť {l}{3x+5y=4}{x-3y=6}

$$\left.\begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right\}$$

Riešenie pre x,y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$3x+5y=4$$

Odčítajte hodnotu 5y od oboch strán rovnice.

$$3x=-5y+4$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslom -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Dosaďte \frac{-5y+4}{3} za x v druhej rovnici x-3y=6.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-3y=6$$

Prirátajte -\frac{5y}{3} ku -3y.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{4}{3}=6$$

Odčítajte hodnotu \frac{4}{3} od oboch strán rovnice.

$$-\frac{14}{3}y=\frac{14}{3}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou -\frac{14}{3}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=-1$$

V rovnici x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} dosaďte y za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{4}{3}$$

Vynásobte číslo -\frac{5}{3} číslom -1.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

Prirátajte \frac{4}{3} ku \frac{5}{3} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=3$$

Systém je vyriešený.

$$x=3,y=-1$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-5}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 4+\frac{5}{14}\times 6\\\frac{1}{14}\times 4-\frac{3}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=3,y=-1$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Ak chcete, aby boli členy 3x a x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 3.

$$3x+5y=4,3x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

Zjednodušte.

$$3x+5y=4,3x-9y=18$$

Odčítajte rovnicu 3x-9y=18 od rovnice 3x+5y=4 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$3x-3x+5y+9y=4-18$$

Prirátajte 3x ku -3x. Členy 3x a -3x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$5y+9y=4-18$$

Prirátajte 5y ku 9y.

$$14y=4-18$$

Prirátajte 4 ku -18.

$$14y=-14$$

Vydeľte obe strany hodnotou 14.

$$y=-1$$

V rovnici x-3y=6 dosaďte y za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x-3\left(-1\right)=6$$

Vynásobte číslo -3 číslom -1.

$$x+3=6$$

Odčítajte hodnotu 3 od oboch strán rovnice.

$$x=3$$

Systém je vyriešený.

$$x=3,y=-1$$