Vyriešiť {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=8$$

$$y=-3$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Pridať položku y na obidve snímky.

$$x+y=5$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x+y=5$$

Odčítajte hodnotu y od oboch strán rovnice.

$$x=-y+5$$

Dosaďte -y+5 za x v druhej rovnici 7x+3y=47.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

Vynásobte číslo 7 číslom -y+5.

$$-7y+35+3y=47$$

Prirátajte -7y ku 3y.

$$-4y+35=47$$

Odčítajte hodnotu 35 od oboch strán rovnice.

$$-4y=12$$

Vydeľte obe strany hodnotou -4.

$$y=-3$$

V rovnici x=-y+5 dosaďte y za premennú -3. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

Vynásobte číslo -1 číslom -3.

$$x=3+5$$

Prirátajte 5 ku 3.

$$x=8$$

Systém je vyriešený.

$$x=8,y=-3$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Pridať položku y na obidve snímky.

$$x+y=5$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=8,y=-3$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Pridať položku y na obidve snímky.

$$x+y=5$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Ak chcete, aby boli členy x a 7x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 7 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

Zjednodušte.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

Odčítajte rovnicu 7x+3y=47 od rovnice 7x+7y=35 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

Prirátajte 7x ku -7x. Členy 7x a -7x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$7y-3y=35-47$$

Prirátajte 7y ku -3y.

$$4y=35-47$$

Prirátajte 35 ku -47.

$$4y=-12$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$y=-3$$

V rovnici 7x+3y=47 dosaďte y za premennú -3. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

Vynásobte číslo 3 číslom -3.

$$7x-9=47$$

Prirátajte 9 ku obom stranám rovnice.

$$7x=56$$

Vydeľte obe strany hodnotou 7.

$$x=8$$

Systém je vyriešený.

$$x=8,y=-3$$