Vyriešiť {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$5x-4y=-7$$

Prirátajte 4y ku obom stranám rovnice.

$$5x=4y-7$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{5} číslom 4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

Dosaďte \frac{4y-7}{5} za x v druhej rovnici -6x+8y=2.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

Vynásobte číslo -6 číslom \frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

Prirátajte -\frac{24y}{5} ku 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

Odčítajte hodnotu \frac{42}{5} od oboch strán rovnice.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{16}{5}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=-2$$

V rovnici x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5} dosaďte y za premennú -2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

Vynásobte číslo \frac{4}{5} číslom -2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

Prirátajte -\frac{7}{5} ku -\frac{8}{5} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=-3$$

Systém je vyriešený.

$$x=-3,y=-2$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=-3,y=-2$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Ak chcete, aby boli členy 5x a -6x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom -6 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

Zjednodušte.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

Odčítajte rovnicu -30x+40y=10 od rovnice -30x+24y=42 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

Prirátajte -30x ku 30x. Členy -30x a 30x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$24y-40y=42-10$$

Prirátajte 24y ku -40y.

$$-16y=42-10$$

Prirátajte 42 ku -10.

$$-16y=32$$

Vydeľte obe strany hodnotou -16.

$$y=-2$$

V rovnici -6x+8y=2 dosaďte y za premennú -2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

Vynásobte číslo 8 číslom -2.

$$-6x-16=2$$

Prirátajte 16 ku obom stranám rovnice.

$$-6x=18$$

Vydeľte obe strany hodnotou -6.

$$x=-3$$

Systém je vyriešený.

$$x=-3,y=-2$$