Vyriešiť {r}{2x+3y=10}{-3x+y=18}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { - 3 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=-4$$

$$y=6$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x+3y=10$$

Odčítajte hodnotu 3y od oboch strán rovnice.

$$2x=-3y+10$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Dosaďte -\frac{3y}{2}+5 za x v druhej rovnici -3x+y=18.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18$$

Vynásobte číslo -3 číslom -\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y-15+y=18$$

Prirátajte \frac{9y}{2} ku y.

$$\frac{11}{2}y-15=18$$

Prirátajte 15 ku obom stranám rovnice.

$$\frac{11}{2}y=33$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{11}{2}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=6$$

V rovnici x=-\frac{3}{2}y+5 dosaďte y za premennú 6. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

Vynásobte číslo -\frac{3}{2} číslom 6.

$$x=-9+5$$

Prirátajte 5 ku -9.

$$x=-4$$

Systém je vyriešený.

$$x=-4,y=6$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=-4,y=6$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Ak chcete, aby boli členy 2x a -3x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom -3 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18$$

Zjednodušte.

$$-6x-9y=-30,-6x+2y=36$$

Odčítajte rovnicu -6x+2y=36 od rovnice -6x-9y=-30 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$-6x+6x-9y-2y=-30-36$$

Prirátajte -6x ku 6x. Členy -6x a 6x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-9y-2y=-30-36$$

Prirátajte -9y ku -2y.

$$-11y=-30-36$$

Prirátajte -30 ku -36.

$$-11y=-66$$

Vydeľte obe strany hodnotou -11.

$$y=6$$

V rovnici -3x+y=18 dosaďte y za premennú 6. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$-3x+6=18$$

Odčítajte hodnotu 6 od oboch strán rovnice.

$$-3x=12$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$x=-4$$

Systém je vyriešený.

$$x=-4,y=6$$